магнитный решетка

VIVOS VOCO: Е.З. Мейлихов, "Трагическая магнитный решетка счастливая жизнь Эрнста Изинга"№7, 2006 г.© Мейлихов Е.З.Трагическая магнитный решетка счастливая жизнь Эрнста ИзингаЕ.З. МейлиховЕвгений Залманович Мейлихов, доктор физико-математических наук,главный научный сотрудник Института молекулярной физики Российского научного центра “Курчатовский институт”.Модель Изинга - одна из стандартных моделей статистической физики,исследованию которой посвящено огромное число публикаций: известная интернетовскаяпоисковая система Google по запросу “модель Изинга” выдает 330 тыс. ссылок(!). Парадокс состоит в том, что хотя многие слышали о модели Изинга, нопочти никто не знает, кто такой Изинг. Между тем, Эрнст (или Эрнест) Изинг- автор работы, в которой впервые рассматривалась модель, названная позжеего именем, магнитный решетка которая стала его первой магнитный решетка единственной публикацией.Настоящие заметки приурочены к недавно прошедшему 80-летнему юбилею появленияэтой классической статьи Изинга.Ежегодное количество публикаций, посвященных модели Изинга после 1966 г.(общее число публикаций за 1966-2003 гг. - около 20 тыс.).Модель Изинга IПрежде всего напомним суть модели. Как известно, магнетизм различныхтел связан с магнитными свойствами атомов, составляющих данное тело. Этисвойства, в свою очередь, обусловлены магнитными характеристиками электронов,входящих в состав атомов. Так же как наиболее важным пунктом “электрическогопаспорта” электрона является его электрический заряд, “визитной карточкой”его магнитных качеств служит собственный магнитный момент (спин). В отличиеот заряда, магнитный момент характеризуется не только величиной, но магнитный решетка направлением(т.е. является вектором). Обычно магнитные моменты электронов направленыв разные стороны, так что их сумма (векторная) практически равна нулю.Однако в некоторых случаях магнитные моменты значительной части электроновстановятся параллельными друг другу. Тогда магнитный решетка возникает сильный магнетизм,или, как его обычно называют, - ферромагнетизм (от лат. ferrum -железо).Причина такого выстраивания магнитных моментов электронов - их взаимодействиедруг с другом. Такое взаимодействие может быть прямым (без всяких “посредников”)и косвенным (через “посредников”, в качестве которых могут выступать другиеэлектроны, свободные или входящие в состав атомов).К чему приводит прямое взаимодействие, можно понять с помощью простыхэкспериментов с магнитными стрелками - чувствительными элементами приборадля определения направления магнитного поля Земли (компаса). В отношениимагнитных свойств такие стрелки очень похожи на электроны: они обладаютсобственным магнитным моментом (направленным вдоль оси стрелки от “южного”полюса к “северному”), ориентация в пространстве которого меняется привращении стрелки вокруг иглы.Анизотропное взаимодействие магнитных стрелок.Если две стрелки поместить близко друг от друга, их взаимодействие становитсяочень сильным магнитный решетка влиянием магнитного поля Земли можно пренебречь. Закрепимодну из стрелок, например, сняв ее с оси магнитный решетка приклеив к поверхности стола(фиксированную ориентацию этой стрелки будем далее называть выделеннымнаправлением). На этой поверхности нарисуем две прямые линии, проходящиечерез центр закрепленной стрелки: одну - вдоль выделенного направления(линия 1), магнитный решетка другую - перпендикулярно ему (линия 2). Будем теперь приближатьк неподвижной стрелке другую магнитную стрелку, способную вращаться вокругиглы. Если в процессе этого приближения центр второй стрелки все времяостается на линии 1, то (независимо от начальной ориентации) эта стрелкарано или поздно встанет так, что магнитные моменты обеих стрелок будутпараллельными. Если же в процессе приближения второй стрелки ее центр всевремя остается на линии 2, то она в конце концов ориентируется так, чтомагнитные моменты обеих стрелок станут антипараллельными. Эти экспериментыпоказывают, что в отличие от электрического (кулоновского) взаимодействиямежду электрическими зарядами, зависящего только от знаков этих зарядови расстояния между ними, прямое взаимодействие магнитных моментов зависитеще магнитный решетка от угла, который соединяющая их линия составляет с выделенным направлением.Косвенное взаимодействие магнитных моментов промоделировать трудно.Можно лишь предположить, что при наличии “посредников” зависимость энергиивзаимодействия от указанного выше угла пропадает магнитный решетка остается лишь зависимостьот расстояния между магнитными моментами магнитный решетка от их знаков (т.е. направлений).Точный расчет подтверждает это предположение *. Таким образом, для определенностиможно, например, считать, что взаимодействие всегда (независимо от взаимногорасположения) благоприятствует параллельной ориентации магнитных моментов.* В качестве аналогии рассмотримтеннис, в котором взаимодействие игроков осуществляется напрямую - с помощьюмяча, который доставляет игроку, принимающему подачу, ту информацию, чтобыла вложена в него подающим игроком. А вот в футболе мяч, посланный вполе вратарем одной из команд, попадает к вратарю другой команды, испытавпредварительно взаимодействие с десятком полевых игроков магнитный решетка полностью потерявту информацию, что была вложена в него первым вратарем.Представим теперь, что магнитные стрелки (которые, напомним, моделируютмагнитные моменты электронов) расположены в узлах регулярной решетки. Посколькувзаимодействие быстро спадает с увеличением расстояния, можно ограничитьсявзаимодействием только соседних магнитных моментов. Согласно принятомупредположению, такое взаимодействие благоприятствует выстраиванию соседнихмагнитных моментов вдоль некоторого выделенного направления магнитный решетка тем самымпонижает энергию системы, внося в нее отрицательный вклад –J. Наоборот,антипараллельная ориентация соседних моментов энергетически невыгодна иприводит к увеличению энергии на величину J. Это магнитный решетка есть модель Изинга,в которую, однако, необходимо внести еще один элемент - тепловые флуктуации.Очевидно, что при сделанных предположениях наименьшей энергии системысоответствует состояние, в котором все магнитные стрелки параллельны другдругу. Однако представим теперь, что стол, на котором размещены все этистрелки, беспорядочно трясется (например, во время землетрясения). Ясно,что если такая тряска станет достаточно сильной, ориентационный порядоксреди магнитных моментов стрелок исчезнет. Настоящие же магнитные моментыотдельных электронов настолько малы, что не нуждаются в землетрясении:для них достаточно всегда существующей тепловой “тряски” решетки. Еслиэнергия ~kT, получаемая ими от решетки, сравнима с энергией взаимодействияJ,то в равновесном состоянии полной ориентации магнитных моментов не будет.Более того, неясно, сохранится ли хотя бы преимущественная ориентация этихмоментов?Для ответа на этот вопрос магнитный решетка была предложена модель, которую называютмоделью Изинга. В ней магнитные моменты-спины, располагающиеся в узлахрегулярной решетки, могут быть ориентированы только вдоль (или против)некоторого выделенного направления. Учитывается лишь взаимодействие соседнихспинов, энергия которого принимает (в зависимости от их взаимной ориентации)значения ±J. Эта модель принципиально важна в том отношении, чтоотносится к системе, в которой наблюдаются кооперативные явления магнитный решетка фазовыепереходы, магнитный решетка допускает математическое рассмотрение.Эрнст Изинг (1900-1998)Впервые количественный анализ подобной модели был проведен в 1924 г.Эрнстом Изингом в его докторской диссертации [1]. В 1925г. полученные им результаты были опубликованы * [2]. ЖизньИзинга захватила практически весь прошлый век магнитный решетка включила в себя многиедраматические события политики магнитный решетка науки. О том, насколько важной оказаласьмодель Изинга для последующего развития физики, свидетельствует хотя бытот факт, что уже после 1966 г. появилось около 20 тыс. публикаций со ссылкойна оригинальную работу Изинга магнитный решетка более 300 тыс. публикаций, использующихили развивающих эту модель. Однако несмотря на грандиозную популярностьмодели Изинга, мало кто знает о самом ее авторе, в долгой жизни которогопереплелось много трагического магнитный решетка счастливого. Описанная в настоящих заметкахбиография Изинга в значительной мере основана на материалах работ [3-6].* Журнал, где опубликованаэта работа (написанная на немецком языке), малодоступен. В Интернете имеетсяанглийская версия статьи в переводе Джоанны Изинг (жены Э.Изинга, экономистапо специальности) магнитный решетка Тома Каммингса (Thomas F.Cummings, химика по специальности),содержащая ряд неточностей(http://www.fh-augsburg.de/~harsch/anglica/Chronology/20thC/Ising/isi\_fm00.html).Эрнст Изинг родился 10 мая 1900 г. в Кельне (Германия) в семье лавочникаГустава Изинга магнитный решетка его жены Теклы (урожденной Лоэве). Двумя годами позжесемья переехала в Бохум (Вестфалия), где Эрнст магнитный решетка провел свое детство. Весной1907 г. он поступил в местную школу, магнитный решетка в 1918 г. окончил гимназию. Шлавойна, магнитный решетка Эрнста призвали на военную подготовку, но, к счастью, первая мироваявойна закончилась раньше, чем он мог быть отправлен на фронт. Весной 1919 г. Изинг начал изучать математику магнитный решетка физику в Геттингенском университете,затем продолжил свое образование в Бонне и, начиная с 1922 г., - в Гамбурге.В 20-е годы прошлого века Гамбург был одним из центров развития мировойфизической науки. Здесь занимались исследованиями многие выдающиеся ученые.Во время учебы в Гамбурге Изинг познакомился со своим ровесником ВольфгангомПаули (1900-1958), который только что начал работать в том же университетев должности ассистент-профессора теоретической физики. В марте 1924 г.Паули опубликовал статью, где был сформулирован один из важнейших принциповсовременной теоретической физики (в 1945 г. он получил Нобелевскую премию“за открытие принципа запрета, который называют принципом Паули”).В это же время в Гамбурге работал Отто Штерн (1888-1969), который сталполным профессором Гамбургского университета в 1923 г. магнитный решетка вместе с ВальтеромГерлахом (1889-1979) проводил свои знаменитые эксперименты с атомными пучкамив неоднородном магнитном поле. В 1943 г. Отто Штерн (эмигрировавший к томувремени в США) был удостоен Нобелевской премии “за вклад в развитиеметода молекулярных пучков магнитный решетка открытие магнитный решетка измерение магнитного момента протона”.Заняться теоретической физикой предложил Изингу заведующий кафедройтеоретической физики Гамбургского университета профессор Вильгельм Ленц(1888-1957), помощником которого (с 1922 г.) был Паули. Под руководствомЛенца Изинг в 1922 г. начал исследовать одну из моделей ферромагнетизма,которая магнитный решетка стала темой его диссертации [1]. Защита состояласьв июле 1924 г. на факультете математики магнитный решетка естественных наук Гамбургскогоуниверситета.После получения докторской степени Изинг переехал в Берлин магнитный решетка в 1925–1926 гг. служил в патентном бюро компании “Allgemeine Elektrizitдtsgesellschaft”(AEG). Неудовлетворенный этой работой, он решил стать учителем. В течениегода Изинг работал в известной школе-интернате в Салеме, но для продвиженияна педагогическом поприще надо было получить специальное образование. Поэтомув 1928 г. он возвращается в Берлинский университет для изучения философиии педагогики магнитный решетка в 1930 г. сдает государственный экзамен школьному советупо высшему образованию. В том же году Изинг женится на Джоанне Эмер, доктореэкономики, которую он встретил в Берлине. Молодая супружеская пара переезжаетв Страусберг возле Берлина, где Эрнст получает должность помощника преподавателяв высшей школе - должность для лиц, сдавших соответствующий экзамен, ноеще не имеющих необходимого опыта. Позже он перезжает в Гроссен-на-Одере(ныне - город Кросно в Польше), чтобы заменить заболевшего коллегу.В 1933 г. к власти приходит Гитлер, магнитный решетка вскоре государственные служащие-евреилишаются работы. Не избежал этой участи магнитный решетка Эрнст Изинг. В течение года оноставался безработным, не считая временной работы в Париже в школе длядетей эмигрантов. В 1934 г. Изинг находит новую работу в еврейской школе-интернатев Капуте вблизи Потсдама. Эта школа была основана прогрессивным педагогом-теоретикомГертрудой Файертаг (1890-1943?); ее имя носит сейчас одна из улиц Потсдама);рядом находился летний дом Альберта Эйнштейна. Когда Эйнштейн в 1932 г.уехал в США, школа арендовала этот дом для дополнительных занятий. ПозжеИзинг с удовольствием рассказывал, как он купался в ванне Эйнштейна, посколькув его доме ванны не было.В последующие годы число учеников возрастало, так как еврейских детейизгоняли из общественных школ. В 1937 г. Изинг становится одним из руководителейшколы. 10 ноября 1938 г. во время “Хрустальной ночи” - погромной акции,направленной против немецких евреев, - жители деревни, спровоцированныенацистами, подвергли школу полному разграблению. Воспитанники школы вместес ее директором Файертаг магнитный решетка преподавателями спрятались в ближайшем лесу.Почти через 60 лет оставшиеся в живых вернулись на это место и, вспоминаяо былых событиях, назвали их “изгнанием из рая”.После погрома Изинг возвращается в Берлин. 15 ноября он отправляет вшкольную администрацию Потсдама письмо, в котором пишет: “С 11 ноябряеврейская школа-интернат в Капуте закрыта. Возобновление занятий в обозримомбудущем невозможно. Боюсь, что все бумаги магнитный решетка документы утрачены. Мой нынешнийадрес: Берлин-Вильмерсдорф, Паретцерштрассе, 10 IV. Изинг”. Ответаон не получил.Через три месяца, ранним утром 27 января 1939 г., Изинг был вызван вгестапо. Там он подвергся четырехчасовому допросу магнитный решетка был освобожден толькопосле того, как обещал покинуть Германию. Решив эмигрировать в США, Изингс женой отправляются в Люксембург. Однако им пришлось задержаться там,ввиду ограниченной квоты для эмигрантов. В день, когда Изингу исполнилосьсорок лет, германская армия оккупировала Люксембург магнитный решетка американский консулатбыл закрыт. Чтобы выжить, супруги Изинг вынуждены были наняться в прислуги.Секретное письмо Адольфа Эйхмана (январь 1942 г.) провозгласило полнуюдепортацию евреев, за исключением тех, кто имел супругов немецкого происхождения.В соответствиии с этим правилом Изинг мог бы остаться с семьей. Но егои остальных еврейских мужей нееврейских жен не выпустили из Люксембургаи заставили работать на германскую армию. С мая 1943 г. вплоть до освобожденияосенью 1944 г. они занимались демонтажем железнодорожных путей на линииМажино в Лоррейне.Через два года после окончания второй мировой войны Изинг с семьей покинулЕвропу на борту грузового судна магнитный решетка в апреле 1947 г. прибыл в Нью-Йорк. Наэтом закончилась первая половина его жизни. Эрнст Изинг(приблизительно 1925 г.).Изинг читает лекциюв Университете Брэдли(начало 70-х годов).В течение года он работал преподавателем в государственном педагогическомколледже в Миноте (Северная Дакота), магнитный решетка в 1948 г. получил должность профессорафизики в университете Брэдли в Пеории (Иллинойс), где магнитный решетка преподавал вплотьдо ухода на пенсию в 1976 г. Гражданство США магнитный решетка имя Эрнест он получил в1953 г. Здесь, в провинциальной Пеории, прошла вторая, гораздо более счастливаяполовина жизни Изинга.После Второй мировой войны Паули попросил своего коллегу Валентина Телегдинавести справки о выживших физиках. Изинг был “обнаружен”, магнитный решетка в феврале1951 г. Паули написал ему: “Дорогой м-р Изинг, спасибо за ваше письмо.Я рад узнать, что Вы пережили гитлеровскую “жизнь” магнитный решетка нашли работу…”Увлечением Изинга в послевоенные годы стало преподавание. Его ученикипомнят проводимые им на лекциях тщательные демонстрационные опыты магнитный решетка свойственныйлектору тонкий юмор. Он говорил, что урок нельзя считать успешным, еслив ходе его ученики хотя бы один раз не рассмеялись. Он любил изящные искусстваи поэзию магнитный решетка даже в преклонные годы мог цитировать Гете магнитный решетка других немецкихклассиков. Это, по-видимому, нашло отражение в еще одной (научно-популярной)публикации Изинга “Гёте как физик” [7].Изинг любил спорт, особенно туризм магнитный решетка плавание. В 1980 г. (в 80-летнемвозрасте!) он с женой участвовал в ледяном шоу Дороти Хэмилл, золотой медалисткиОлимпийских Игр. Они вместе танцевали вальс. Кроме того, он был страстнымфотографом. И до, магнитный решетка после выхода на пенсию он много путешествовал, побывалпочти во всех американских штатах магнитный решетка посетил многие страны мира.В течение долгих лет Изинг не принимал никакого участия в научной жизнии только в 1949 г. узнал о широкой известности своей статьи. Он изумлялсякаждый раз, когда в публикациях упоминалась его имя, но будучи человекомскромным, всегда отмечал вклад своего руководителя. В одном из писем онписал: “Я хочу обратить внимание, что эта модель должна на самом деленазываться моделью Ленца-Изинга. Идея принадлежала моему наставнику докторуВильгельму Ленцу, который предложил мне исследовать ее математически вмоей диссертации…”.Эрнст Изинг умер 11 мая 1998 г. в своем доме в Пеории на следующий деньпосле своего 98-го дня рождения.Модель Изинга IIКонцепция микроскопической модели магнитной системы, состоящей из элементарныхмагнитных моментов с двумя возможными ориентациями “вверх” магнитный решетка “вниз”, былапредложена Вильгельмом Ленцем. Он впервые использовал эту модель для объясненияпарамагнитных свойств твердых тел [8]. В конце своей статьион следующими словами сформулировал идею взаимодействия: “Предположениео том, что потенциальная энергия взаимодействия атома (элементарного магнита)в ферромагнетике с его соседями в положении “0” отличается от таковой вположении “p”, приводит к выводу о естественной ориентации атомов магнитный решетка возникновениюспонтанной намагниченности… Можно надеяться, что таким образом удастсяобъяснить свойства ферромагнетиков”.Вильгельм Ленц (1888-1957).В своей диссертации [1] Изинг рассмотрел частный случайлинейной цепочки магнитных моментов, связанных взаимодействием с ближайшимисоседями. Он показал, что спонтанную намагниченность нельзя объяснить врамках такой одномерной модели. В статье [2], написаннойпо материалам диссертации, он ошибочно обобщил полученный результат магнитный решетка натрехмерный случай.Изинг знал о первой ссылке на его работу в статье Гейзенберга [9],в которой тот ввел квантовомеханическое обменное взаимодействие для описанияферромагнетизма. Гейзенберг писал: “Другие сложности детально обсудилЛенц, магнитный решетка Изингу удалось показать, что магнитный решетка предположение о наличии достаточнобольших сил между любыми двумя соседними атомами цепочки не объясняет появленияферромагнетизма”.Стефен Браш, автор опубликованного в 1967 г. обзора [10],посвященного модели Изинга, так комментирует этот пассаж Гейзенберга: “Такимобразом, Гейзенберг использовал предполагаемую несостоятельность моделиЛенца-Изинга для объяснения ферромагнетизма как оправдание для разработкисвоей собственной теории, основанной на более сложном взаимодействии междуспинами. Это привело к опрокидыванию естественного порядка развития теорииферромагнетизма: сначала рассматривалась более изощренная модель Гейзенбергаи только затем теоретики все-таки вернулись к исследованию свойств болеепростой модели Ленца-Изинга”.Термин “модель Изинга” ввел, по-видимому, Рудольф Пайерлс в своей статье1936 года [11], которая называлась “О модели ферромагнетизмаИзинга”. Он рассмотрел границу, которая разделяет области со спинами “вверх”и “вниз” в двумерной квадратной решетке Изинга. Оценив верхний предел длинызамкнутых границ, он показал, что при достаточно низких температурах лишьмалая доля от общего числа спинов заключена внутри областей, ограниченныхтакими границами. Следовательно, большинство спинов должно иметь противоположныйзнак, что означает спонтанную намагниченность системы.Наиболее впечатляющий успех модели Изинга связан с иссследованием фазовогоперехода между ферромагнитным магнитный решетка парамагнитным состояниями. Настоящий прорывпроизошел, когда различные авторы обнаружили, что проблему можно сформулироватьв матричном представлении, в котором свойства системы связаны с так называемымисобственными значениеми некоторой матрицы [12, 13].Хендрик Крамерс магнитный решетка Грегори Ванье [12] нашли численноезначение температуры TC, при которой в двумерной изинговской системе возникаетотличный от нуля суммарный магнитный момент (так называемая температураКюри): kTс = 2.27J, магнитный решетка точное магнитный решетка полноеее решение (для прямоугольной решетки) было получено в 1944 г. Ларсом Онзагером [14].В настоящее время известны также точные решения двумерной проблемы Изингадля треугольной магнитный решетка шестиугольной решеток магнитный решетка решетки Бете *, магнитный решетка также для такназываемой модели льда на квадратной решетке (она же - шестивершинная модель)и восьмивершинной модели [15].* Эта решетка строитсяс помощью специальной процедуры магнитный решетка не является решеткой в обычном смыслеэтого слова. Она напоминает ветвистое дерево, в котором от каждой развилкиотходит одинаковое количество ветвей. Каждый узел в такой решетке связанс одинаковым числом соседей, но в ней нет замкнутых путей.В модели льда решетка состоит из атомов двух сортов (условно - “кислород”и “водород”), первые из которых занимают узлы квадратной решетки, магнитный решетка вторыерасположены на связях между ними. Атомы подчиняются “правилу льда”: изчетырех водородных атомов, окружающих каждый кислородный атом, два (любые)расположены близко, магнитный решетка два других удалены вдоль линий соответствующих связей.“Водородная” связь между атомами кислорода осуществляется через атомы водорода.В модели Изинга этим связям соответствуют магнитные моменты, которые можноизображать стрелками, параллельными линиям связи магнитный решетка направленными к томуконцу связи, который занят атомом водорода. “Правило льда” сводится к утверждению,что у каждого узла (где расположен атом кислорода) имеются два момента,направленные к нему, магнитный решетка два момента, направленные от него. Всего имеетсяшесть различных конфигураций стрелок, удовлетворяющих этому правилу (поэтомумодель типа льда называют иногда шестивершинной моделью) с энергиями, которые,вообще говоря, могут быть все отличны друг от друга. Все шесть допустимыхконфигураций стрелок-диполей у вершины представлены на рисунке.Различные комбинации ориентаций диполей в шестивершинноймодели.Восьмивершинная модель - обобщение модели льда. В ней к приведеннымвыше шести конфигурациям стрелок вокруг узла добавляются еще две, в которыхвсе стрелки входят в узел или выходят из него (очевидно, для таких узловправило льда не выполняется).Что касается трехмерной модели Изинга, то, несмотря на многочисленныепопытки, найти ее точное решение до сих пор не удалось (согласно приближенныманалитическим магнитный решетка компьютерным расчетам, kTс~ 4.5J). Более того, недавно появились строгие математическиеаргументы в пользу того, что точно решить эту проблему вообще невозможно[16]. Автор этого утверждения Сорин Истрейл (директоротдела информатики в Celera/Applied Biosystems, Rockville, MD) говорит:“Конечно,это не так полезно, как найти чашу Грааля. Всем бы нам хотелось быть похожимина Ларса Онзагера. Но, по крайней мере, теперь никому не надо тратить времяна решение неразрешимой задачи”.Модель Изинга IIIВсе, о чем мы говорили до сих пор, относилось к регулярным решеткаммагнитных моментов-спинов. Реальные же системы, свойства которых могутбыть описаны в рамках модели Изинга, редко бывают абсолютно регулярными.Существует много причин, нарушающих строгую периодичность таких систем.Одна из них - случайное замещение магнитных моментов, составляющих решетку,магнитными моментами другой величины. Это приводит к тому, что энергиявзаимодействия параллельных спинов, в отсутствие подобных “примесей” равная–J, случайным образом (с вероятностью, равной относительной концентрациипримесей) может принимать другое значение: –Jў.Ясно, что если в обоих случаях энергетически выгодным является параллельнаяориентация спинов (т.е. J, Jў > 0), топримеси лишь повлияют на температуру Кюри, ниже которой система по-прежнемубудет ферромагнитной.Сложнее обстоит дело, когда взаимодействие с примесями имеет антиферромагнитныйхарактер (т.е. Jў < 0). Можно ожидать,что ферромагнитное состояние в такой системе возможно лишь до тех пор,пока концентрация антиферромагнитных примесей не достигнет некоторой критическойвеличины. И это действительно так, однако оказывается, что критическаяконцентрация определяется особым механизмом - перколяцией, которая обеспечиваетсуществование связанной области ферромагнитных спинов. Перколяция в значительноймере ответственна магнитный решетка за свойства системы, в которой нет примесей, но частьсвязей случайным образом удалена. Формально это соответствует случаю Jў= 0.В последнее время интенсивно исследуются изинговские системы, в которых,наоборот, случайным образом устанавливаются дополнительные (по отношениюк существующим в регулярной решетке) связи. Причем длина таких дополнительныхсвязей также случайна - они могут обеспечивать взаимодействие спинов вузлах, очень далеко отстоящих друг от друга. Такая нерегулярная системаназывается сетью “тесного мира”. Это название - вольный перевод английскогословосочетания small world network, относящегося к сетям с особымисвойствами. Одно из них, известное как “правило шести рукопожатий” [17],состоит в том, что любые два человека на Земле знакомы друг с другом черезшесть “посредников”. Английское изречение “It is a small world!”, связанноес удивительно высокой вероятностью того, что два любых человека имеют общихзнакомых, имеет русский эквивалент “Как тесен мир!”, который магнитный решетка служит основаниемдля приведенного варианта перевода. В “обычных” сетях (регулярных магнитный решетка разупорядоченных)узлы соединены только со своими близкими соседями. В отличие от них, в“тесном мире” имеются случайные связи магнитный решетка между далекими (в геометрическомсмысле) узлами. Именно наличие таких дальних связей (шунтов, или закороток)и обусловливает особые свойства таких сетей.Задача Изинга в сети “тесного мира” возникает так же, как в обычнойрешетке, - в узлах сети размещаются изинговские спины, которые взаимодействуют(энергия взаимодействия J) лишь со своими ближайшими соседями, т.е. с теми,которые непосредственно связаны с выбранным спином. Однако здесь “ближайшими”становятся магнитный решетка некоторые геометрически удаленные спины, что, естественно,способствует магнитному упорядочению. Основная задача здесь - определить,как температура Кюри зависит от доли p дальних связей.Точное решение такой задачи известно лишь для одномерной цепочки спинов.В остальных случаях она рассматривается путем компьютерного моделирования.Тем не менее качественно верные магнитный решетка достаточно точные в количественном отношениирезультаты можно получить, распространяя на сети “тесного мира” аргументы,высказанные Пайерлсом еще в 1936 г. [11]. Его соображениясводятся к оценке энергетической выгодности (или невыгодности) разбиениясистемы изинговских спинов на области (домены), внутри которых все спиныпараллельны, но их направление меняется при переходе через границу домена.Особенно проста такая оценка для одномерной системы, где вблизи доменнойграницы расположена всего одна пара спинов, чья антипараллельная ориентацияувеличивает энергию системы на 2J. Казалось бы, это препятствуетобразованию такой границы, магнитный решетка значит, магнитный решетка нарушению ферромагнитного порядкав системе. Однако при конечной температуре термодинамически равновесноесостояние, как известно, - это не состояние с наименьшей (внутренней) энергией,а наиболее вероятное состояние *. Вероятность же состояния тем больше,чем большим числом способов оно (это состояние) может быть реализовано.В рассматриваемом случае одномерной цепочки ферромагнитное состояние, вкотором все спины параллельны друг другу, реализуется единственным способом.Состояние же с одной доменной границей может реализоваться большим числомспособов, поскольку такая граница может располагаться в любом узле цепочки.Поэтому вероятность появления доменов велика. Это перевешивает энергетическийпроигрыш 2J магнитный решетка приводит к тому, что ферромагнитное состояние не являетсятермодинамически равновесным. Формально данному случаю соответствует Tс= 0.* Точнее - состояние (припостоянных температуре магнитный решетка объеме), соответствующее минимуму так называемойсвободной энергии, которая меньше внутренней энергии системы на величину,тем большую, чем выше вероятность конфигурации, соответствующейтому или иному состоянию системы.В сети “тесного мира” возможности размещения доменной границы значительносужаются. Действительно, чтобы энергия системы не увеличилась, такая границане должна разрывать дальние связи. В результате число допустимых конфигурацийс доменной границей падает, магнитный решетка термодинамически равновесное ферромагнитноесостояние восстанавливается (т.е. Tс >0). Оценки дают для одномерной цепочки спинов такую зависимость температурыКюри от доли p дальних связей: Tс ~2Jln|p|(результат справедлив, если pN >> 1, где N - число спиновв цепочке).В двумерной магнитный решетка трехмерной регулярных системах без дальних связей упорядоченноемагнитное состояние существует (т.е. Tс> 0). Введение дальних связей приводит лишь к росту температуры Кюри нанекоторую величину DTс,зависящую от p. Распространяя описанные соображения на эти случаи,можно показать, что DTс~ p1/2 для двумерной системы магнитный решетка DTс~ p2/3 для трехмерной системы [18,19].Эти выводы подтверждаются компьютерным моделированием.Система, которую называют сетью “тесного мира”, - математическая абстракция.Возникает вопрос, существуют ли реальные физические объекты, устроенныетаким образом? Ответ на него попыталась дать четверка студентов из американскогоУниверситета Миссисипи [20]. Они приобрели в ювелирнойлавочке длинное ожерелье - нить, на которую было нанизано N = 150 бусинок,и использовали его как модель одномерной регулярной цепочки. Все бусинкибыли пронумерованы, после чего нить была случайным образом смята магнитный решетка превращенав комок, что, конечно, не нарушило ее одномерности. Однако после этогососедними оказались некоторые бусинки, которые до того находились далекодруг от друга, что эквивалентно введению дополнительных дальнодействующихсвязей. Затем была составлена таблица (так называемая лапласиан-матрица)размером N ґ N, элемент которой, стоящий напересечении i-го столбца с j-й строкой, был равен 1 или 0, в зависимостиот того, соседствуют ли друг с другом i-я магнитный решетка j-я бусинки.Модель сети “тесного мира”.Точно такой же эксперимент был произведен c помощью компьютера, которыйпо специальному вероятностному алгоритму “создал” виртуальную одномернуюсистему “тесного мира”. Оказалось, что некоторая важная характеристикалапласиан-матриц (а именно, распределение их собственных значений) одинаковадля реальной магнитный решетка виртуальной систем. Та же характеристика для исходной (прямолинейной)цепочки - совсем иная.Этот эксперимент показал, что макроскопические системы сети “тесногомира” вполне реальны. Можно думать, что реальны магнитный решетка микроскопические системы,в которых роль бусинок исполняют атомы или молекулы. Не исключено, чтоони могут быть созданы из длинных (полимерных) молекул примерно по тойже схеме, что описана выше.* * *Введенная изначально для понимания природы ферромагнетизма, модель Изингаоказалась в центре разнообразных физических теорий, относящихся к критическимявлениям, жидкостям магнитный решетка растворам, спиновым стеклам, клеточным мембранам,моделированию иммунной системы, различным общественным явлениям магнитный решетка т.д.Кроме того, эта модель служит полигоном для проверки методов численногомоделирования различных физических явлений.Заметка в записной книжке Изинга со ссылкой на обзорG.F.Newell, E.W. Montroll(Rev. Mod. Phys. 1953. V.25. №2. P.353-389)Самая большая загадка Изинга - почему столь успешное начало научнойдеятельности не получило никакого продолжения? Одно из возможных объясненийсостоит в том, что своей работой Изинг, как ему казалось, “закрыл” возможностьописания ферромагнетизма в рамках рассмотренной им модели. Недаром Гейзенберг,ссылаясь в 1928 г. на результат Изинга, подчеркнул именно этот негативныйвывод. И все же робкое заявление Изинга о том, что его работа “…должнапредставлять интерес для проблемы ферромагнетизма…”, которое он сделалв заключительной фразе своей статьи, оказалось пророческим. К сожалению,первое “положительное” упоминание модели, использованной Изингом, как возможнойосновы для объяснения ферромагнетизма появилось только в 1936 г.в упоминавшейся выше работе Пайерлса. Но в это страшное для Германии времяИзинг был слишком занят сохранением еврейской школы в Капуте, магнитный решетка позже -и самой своей жизни. Поэтому вся последующая история модели Изинга прошлабез участия самого Изинга.Работа выполнена при поддержке Российскогофонда фундаментальных исследований. Проект 06-02-16313. Литература1. Ising E. Beitrag zur Theorie des Ferro- undParamagnetismus. Hamburg, 1924. Полный текст диссертации Э.Изинга можнонайти в Интернете (http://www.fh-augsburg.de/~harsch/germanica/Chronologie/20Jh/Ising/isi\_fe00.html).2. Ising E. // Zeitschrift f. Physik. 1925. Bd.31.S.253-258.3. Fry L. The Isings and the 20th Century. Peoria,1991. P.4.4. Kobe S. // Physikalische Blatter. 1995. Bd.51.S.426.5. Kobe S. // J. Stat. Phys. 1997. V.88. P.991-995.6. Kobe S. // Braz. J. Phys. 2000. V.30. №4.P.649-654.7. Ising E. // American J. Physics. 1950. V.18.P.235-236.8. Lenz W. // Phys. Zeitschrift. 1920. Bd.21.S.613-615.9. Heisenberg W. // Zeitschrift f. Physik. 1928.Bd.49. S.619-636.10. Brush S.G. // Rev. Mod. Phys. 1967. V.39.P.883-893.11. Peierls R. // Proc. Cambridge Phil. Soc.1936. V.32. P.477-481.12. Kramers H.A., Wannier G.H. // Phys. Rev.1941. V.60. P.252-262.13. Montroll E. // J. Chem. Phys. 1942. V.10.P.61-77.14. Onsager L. // Phys. Rev. 1944. V.65. P.117-149.15. Бэкстер Р. Точно решаемые модели в статистическоймеханике. М., 1985.16. Istrail S. // Proceedings of the Thirty-SecondAnnual ACM Symposium on Theory of Computing. May 21-23. Portland, 2000.P.87-96.17. Milgram S. // Psychol. Today. 1967. V.1.P.61-67.18. Meilikhov E.Z., Farzetdinova R.M. // Phys.Rev. E. 2005. V.71. P.046111(1-8).19. Meilikhov E.Z., Farzetdinova R.M. // e-PrintarXiv:Cond-mat/050550220. e-Print arXiv:Cond-mat/0410589 v1/22 Oct 2004 Июль 2006разделы protherm видеосъемка торжество флажок настольный стелаж пищеблок доставка ноутбук этнический психология время архангельск доставка напиток восстановление информация автоподъемник очистка подогреватель красный площадь васильевский спуск монетница купить fifa 2006 сборный доставка ваза 2110 восстановление информация certification microsoft арочный конструкция токовый клещ обрезание легранд ром доставка озонатор воздуха билет цдкж утюг брусок алмазный кухонный техник эдас-134 аденома предст.ж-зы позитивный психология красный объявление подгонный компенсатор danfoss короткий нард скачать бесплатный шапка доставка эмжс кс-4361 гиря торговый калибровочный фотопечать крот-95 обрезание этнический психология покупка кострома тестоокруглитель ленточный инвертор кострома жилье оркестр креольский танго вскрытие авто телефонный обзвон thuraya sg 2510 вино заказ ларсен центр сенсорный экран устройство ваза 2113 штанга насосный три цвета: синий девелоперская компания rittal деловой костюм вышивка флаг мытье потолок kyiv apartments service арманьяк доставка защитный краска валерий билет kiev apartaments service укрепление откос дефектоскопия сварной швов крупный жилищный комплекс охота пиранья прайс зеркало измеритель температры герб область универсам красный площадь бесплатный нард билет хоккей мытье потолок дюпон краска лак orly автоподъемник лечение головокружение thuraya sg 2510 ваттметр сенсорный экран рукавичка доставка деловой разведка иностранный долг значок медаль редизайн кострома фирменный цвет скс покраска рчв плата видеозахвата госпиталь мэш штангенциркуль вызов водитель пакет гриппер степ-аэробика фасадный покрытие видеослот мэш электроинструмент metabo калибровка цвет 5004.13 (крышка) индивидуальный банковский ячейка эмжс touch screen диспорт персонализация карта долг холодный зеркало нард скачать бесплатный магнитный решетка